Ältestes von drei Kindern des gleichnamigen Klarinettisten und Handorgelspielers, lebte seither in Einsiedeln, wo er als gelernter Clicheur rund 20 Jahre einem Kleinbetrieb vorstand, den er 1963 von seinem Vater übernommen hatte. Mit sechs Jahren wurde ihm eine gute Klavierausbildung zuteil, die es ihm erlaubte, bereits als Zwölfjähriger öffentlich aufzutreten und wenig später in der Formation seines Vaters mitzuwirken. Er machte sich anschliessend mit dem Klavierakkordeon vertraut und lernte nach etlichen Jahren das Spiel auf dem Knopfgriffakkordeon hinzu. Als Fünfzehnjähriger begann er sich ausserdem für die Klarinette zu interessieren, wobei er sich auf diesem Instrument zunächst von seinem Vater, dann durch Emil Fanghänel in Zürich unterrichten liess. Nach der Berufsehre und dem Eintritt in den väterlichen Betrieb stellte der Achtzehnjährige seine erste Kapelle zusammen, zu der ausser ihm der Akkordeonist Martine Birchler, der Pianist Kaspar Reichmuth, der Trompeter Adlrich Ochsner und der Bassist Melchior Kälin zählten. 1942 kam die erste Zehner-Serie von Schallplatten mit Eigenkompositionen für die Marke "Elite Spezial" im damaligen Studio Wolfbach in Zürich zustande. 1943 spielte er erstmals am Radio. 1944 gründete er eine Handharmonikaschule mit Zweigstellen in Bezirk Höfe in Uznach, die er bis 1957 hauptberuflich neben seiner Tätigkeit als Kapellmeister führte. Mit dem Gesangstrio Geschwister Schmid arbeitet er zu dieser Zeit öfters bei Vereinsanlässen zusammen. 1958 begleitete er an der Seite von Jost Ribary die Jodlerin Therese Wirth-von Känel bei Schallplattenaufnahmen. In das Jahr 1959 fällt sein erster Fernsehauftritt. Dann wandte er sich mehr und mehr der modernen Unterhaltungsmusik zu und bildete ein Tanzsextett, das u.a. von 1965 bis 1978 in der "Chesa Veglia" in St. Moritz, während 14 Jahren am "Zürcher Jugendball", beim Zürcher Sechstagerennen, aus Anlass der Schweizer Wochen in Hongkong usw. konzertierte. Dabei bildete die Ländlermusik stets einen festen Bestandteil des Programms. Eine lange Reihe von Musikanten gehörte im Verlauf der Jahre zum Bestand der "Einsiedler Ländlerkapelle Martin Beeler", so die Akkordeonisten Christian Hartmann, Fridolin Feldmann, Carlo Rapetti, die Bläser Walter und Paul Kälin, der Klavierspieler Alfons Böhm, Tony Heeb, Walter Keiser, nebst vielen anderen. Als unverwechselbare Beeler-Tänze gelten die Johann-Fuchs-Polka "Ja, Du bisch ja nur es Babeli" und das Stück "Alles tanzt Fox", zwei seiner insgesamt 400 selbstverlegten Titel.
Der Nachlass des Musikverlags Martin Beeler wurde 2017 dem Haus der Volksmusik geschenkt. Das verbliebene Notenmaterial ist dort kostenlos erhältlich.